ウェブサイト全体をコピーされてしまうようなことを防ぐ方法はありますか?あるいは、コピーされたことを知る方法はありますか?

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コピーされては困るページについては、パスワード認証などをかけて誰にもアクセスできないようにすれば、そのページは少なくともコピーされなくなります。めでたし。え、そうじゃなくて?
アクセス可能な場所にあるWebページのデータについて、それをコピーされないようにするのは、残念ながら不可能です。一般にWebアクセスの際は、Webブラウザは、一旦サーバからデータを取得してから、それを表示するわけですが、サーバから取得したデータは、実際にはブラウザから簡単に参照できてしまいます。JavaScriptで小細工をすることで、IEをはじめとするいくつかのブラウザでの参照を難しくすることはできますが、どのブラウザでも大丈夫、と言い切ることはできません。さらに付け加えると、Webブラウザを用いずにいくつかコマンドを打つだけで、簡単にWebサーバから直接HTMLのデータを取得し、PCにコピーすることが出来てしまいます。なので、Webブラウザに対策すれば十分、という話には残念ながらなりません。
最近は、JavaScriptを使ってHTMLのデータを一見無意味な文字列に変換する、といったことが行われていますが、これにしても、暗号化ではなく、その場にあるJavaScriptを解読すればデータの復元は可能なので、破られないという保証にはなりません。
基本的には、「読み取りをしんどくする」努力をすることくらいしか、できないと考えるべきでしょう。
なお、HTMLを使う、ということにこだわらないなら、FLASHを使うという手があります。この場合、サーバからWebブラウザに送信される情報を読み取るには、特別と言っていいほどの努力が必要になるため、かなり高い効果があります。その場合は、ページ作りが大変になる、FLASH機能が使えないブラウザに対する対応を考える必要がある、といった副作用がありますが、そこまでしてもガードしたい情報、というものがあるのでしたら、検討の価値はあるでしょう。